1.3.6.5.2: Das Cosinus-Maß

Abbildung 34: Kurven gleicher Ähnlichkeit beim Cosinus-Maß in der Ebene

Ein Ähnlichkeitsmaß, bei dem die Länge der Vektoren keinen direkten Einfluss auf die Ähnlichkeit hat, ist das Cosinus-Maß (der Cosinus im Rⁿ ):

cos

(wi,q)

=

n ∑ k=1 wi,kqk ( n ∑ k=1 wi,k2)1/2 ( n ∑ k=1 qk2)1/2

Wie der Cosinus in der Ebene liegen die Ähnlichkeitswerte zwischen zwei Vektoren bei diesem Maß immer im Intervall [-1,1] . Die beiden Wurzeln im Nenner sind gerade die euklidischen Längen der Vektoren w_i und q . Man kann sich die Formel also auch als einfaches Skalarprodukt der normierten Vektoren

wi ( n ∑ k=1 wi,k2)1/2

und

q ( n ∑ k=1 qk2)1/2

und vorstellen. Das ist auch der Grund für die Wahl des Maßes: Die Ähnlichkeitswerte sind in gewissem Sinne unabhängig von der euklidischen Länge der Vektoren, also der Anzahl und Größe der von 0 verschiedenen Einträge in den Vektoren. Sie hängen lediglich von der "Richtung" der Vektoren ab, also dem Verhältnis der Vektoreinträge untereinander. Werden nun zwei Vektoren mit dem Cosinus-Maß verglichen, ist ihre Ähnlichkeit am größten, wenn sie die gleiche Richtung haben, sich also nur durch einen positiven Faktor voneinander unterscheiden. Die Vektoren mit gleicher Ähnlichkeit zu einem Referenzvektor sind demnach die, die denselben Winkel mit dem Referenzvektor bilden. Im Zweidimensionalen sind das zwei Strahlen, die symmetrisch zum Referenzvektor von (0,0) ausgehen (siehe Abbildung 34 ).