1.3.6.5.3: Das Pseudo-Cosinus-Maß

Beim Pseudo-Cosinus-Maß sind die euklidischen Längen durch die Summe der Vektoreinträge (die L₁ -Länge) ersetzt:

sp

(wi,q)

=

n k=1 wi,kqk ( n k=1 wi,k)( n k=1 qk)

So gesehen kann auch dieses Maß als Skalarprodukt (L₁ -)normierter Vektoren aufgefasst werden. Solange die Vektoreinträge bzw. Gewichte w_i,j und q_i alle positiv sind, reagiert diese Normierung vor allem weniger stark auf große Werte unter den Einträgen: sie werden weniger abgeschwächt.

Abbildung 35: Kurven gleicher Ähnlichkeit beim Pseudo-Cosinus-Maß in der Ebene

Die Vektoren mit gleicher Ähnlichkeit zu einem Referenzvektor sind hier auch radiale Strahlen aus dem Nullpunkt, allerdings sind sie nicht mehr durch den Winkel zum Referenzvektor charakterisiert. Im zweidimensionalen Fall ergibt sich Folgendes: Sei wieder (a,b) der Referenzvektor, zu dem der Vektor (x,y) die Ähnlichkeit c habe, dann gilt:

ax+by (a+b) (x+y)

=c

ax+by=c(a+b)( x+y)

y=-

a-c(a+b) b-c(a+b)

x

Für den Fall c=1 folgt

y=-

b a

x

Für c=0,5 folgt

y = -	2a - a - b 2b - a - b	x
=	x

Für c->∞ geht die Steigung der Geraden gegen -1 . Das Verhalten ist also nicht symmetrisch zum Referenzvektor wie beim Cosinus (siehe Abbildung 35 ). Mit wachsendem c bewegt sich der Strahl mit den Vektoren mit Abstand c zunächst auf die Achse zu, die den kleineren Winkel zum Referenzvektor hat, um schließlich gegen die Gerade y=-x zu konvergieren. Lässt man nur positive Einträge in den Vektoren zu, liegen die Ähnlichkeitswerte zwischen 0 und 1 ; die Ähnlichkeit ist für einen Vektor am größten, der genau in die Richtung der Achse der größten Komponente des Referenzvektors zeigt, also nur für diese Komponente einen Eintrag ungleich 0 besitzt. Das Pseudo-Cosinus-Maß konzentriert die Gewichtung also auf die größten Einträge in den Vektoren (siehe Abbildung 35 ).