3.2.1.1: Beispiel: Würfel
Um das Werfen eines Würfels durch einen Wahrscheinlichkeitsraum zu beschreiben, kann man als
Grundraum die Menge G={1,...,6}
der Augenzahlen eines Wurfs betrachten.
Ein Würfel ist fair, wenn jedes elementare Ereignis,
also das Fallen einer Zahl, die
Wahrscheinlichkeit
|
p |
({x}) |
= |
| 1 |
 |
| 6 |
|
hat. Das Ereignis
X = {1,3,5}  G
ist dadurch definiert,
dass eine der Augenzahlen der Teilmenge
gewürfelt wird, dass also
eine ungerade Zahl fällt. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ergibt
sich aus
|
p |
(X) |
=p |
(
{1,3,5}
) |
=p |
(
{1}
{3}
{5}
) |
=p |
(
{1}
) |
+p |
(
{3}
) |
+p |
(
{5}
) |
= |
| 3 |
|
| 6 |
|
= |
| 1 |
|
| 2 |
|
.
Man sieht unmittelbar, dass sich dieser
Sachverhalt auch mit Attributen
und Bedingungen schreiben lässt: Als Attribut
A1:G->G
wählt man
die Augenzahl
eines Würfelwurfs. Dann ist
X=(A1 {1,3,5}
)
die Menge der Würfe
mit ungerader Augenzahl. Die
Wahrscheinlichkeit kann dann auch so
geschrieben werden:
|
p |
(X) |
=p |
((
A1{1,3,5})
) |
= |
| 1 |
|
| 2 |
|
. Das Attribut
A1
wird als
Zufallsvariable
bezeichnet, und in der Formel wird die innere Klammer
häufig weggelassen.
Würde man nicht nur mit einem Würfel, sondern mit zweien -
einem roten und einem blauen - würfeln, wäre der Grundraum
entsprechend komplizierter. Er bestünde aus allen Paaren aus den
Zahlen 1
bis
6
:
G={1,...,6}2={
(x,y) | x,y{
1,...,6}}
. Bei fairen Würfeln sollte jedes
Paar - also jedes Elementarereignis
- gleich wahrscheinlich sein. Bei 36 Paaren ergibt sich also
eine Wahrscheinlichkeit von
| 1 |
|
| 36 |
|
.
Wählt man als Attribut oder Zufallsvariable
Ar:G->{1,...,6}
die Augenzahl des roten Würfels und als
Ab:G->{1,...,6}
die des blauen, ergibt sich als
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "der rote
Würfel zeigt eine Eins" mit
|
| p(Ar=1)=p( |
| 6 |
 |
| i=1 |
|
((Ar=1)
 (Ab=i)
))
= |
| 6 |
 |
| i=1 |
|
p((Ar=1)(A
b=i))=
|
| 6 |
|
| 36 |
|
= |
| 1 |
|
| 6 |
|
wie erwartet die Wahrscheinlichkeit, mit
einem Würfel eine Eins zu werfen. In diesem Fall verteilen sich die
Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen des blauen
Würfels gleichmäßig auf die Paare mit einer
"roten Eins". Die Wahrscheinlichkeit ist für jedes
Paar folglich ein Sechstel der Wahrscheinlichkeit der "roten Eins" -
also
. Umgekehrt ist
die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Paares unter den
Paaren mit einer "roten Eins"
gerade
| 1 |
|
| 6 |
|
.
|
