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3.2.1.1: Beispiel: Würfel

Um das Werfen eines Würfels durch einen Wahrscheinlichkeitsraum zu beschreiben, kann man als Grundraum die Menge G={1,...,6} der Augenzahlen eines Wurfs betrachten. Ein Würfel ist fair, wenn jedes elementare Ereignis, also das Fallen einer Zahl, die Wahrscheinlichkeit
p ({x}) =
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
hat. Das Ereignis X = {1,3,5} Mathematisches Zeichen: Teilmenge G ist dadurch definiert, dass eine der Augenzahlen der Teilmenge gewürfelt wird, dass also eine ungerade Zahl fällt. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ergibt sich aus
p (X) =p ( {1,3,5} ) =p ( {1}Mathematisches Zeichen: Vereinigung {3}Mathematisches Zeichen: Vereinigung {5} ) =p ( {1} ) +p ( {3} ) +p ( {5} ) =
3
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
=
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
2
.

Man sieht unmittelbar, dass sich dieser Sachverhalt auch mit Attributen und Bedingungen schreiben lässt: Als Attribut A1:G->G wählt man die Augenzahl eines Würfelwurfs. Dann ist X=(A1Mathematisches Zeichen: Element von{1,3,5} ) die Menge der Würfe mit ungerader Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeit kann dann auch so geschrieben werden:
p (X) =p (( A1Mathematisches Zeichen: Element von{1,3,5}) ) =
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
2
. Das Attribut A1 wird als Zufallsvariable bezeichnet, und in der Formel wird die innere Klammer häufig weggelassen.

Würde man nicht nur mit einem Würfel, sondern mit zweien - einem roten und einem blauen - würfeln, wäre der Grundraum entsprechend komplizierter. Er bestünde aus allen Paaren aus den Zahlen 1 bis 6 : G={1,...,6}2={ (x,y) | x,yMathematisches Zeichen: Element von{ 1,...,6}} . Bei fairen Würfeln sollte jedes Paar - also jedes Elementarereignis - gleich wahrscheinlich sein. Bei 36 Paaren ergibt sich also eine Wahrscheinlichkeit von
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
36
.

Wählt man als Attribut oder Zufallsvariable Ar:G->{1,...,6} die Augenzahl des roten Würfels und als Ab:G->{1,...,6} die des blauen, ergibt sich als Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "der rote Würfel zeigt eine Eins" mit
p(Ar=1)=p(
6
Mathematisches Zeichen: grosses Vereinigungszeichen
i=1
((Ar=1) Mathematisches Zeichen: logisches und(Ab=i) )) =
6
Mathematisches Zeichen: Summe
i=1
p((Ar=1)Mathematisches Zeichen: logisches und(A b=i))=
6
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
36
=
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
wie erwartet die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Eins zu werfen. In diesem Fall verteilen sich die Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen des blauen Würfels gleichmäßig auf die Paare mit einer "roten Eins". Die Wahrscheinlichkeit ist für jedes Paar folglich ein Sechstel der Wahrscheinlichkeit der "roten Eins" - also
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
·
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
=
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
36
. Umgekehrt ist die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Paares unter den Paaren mit einer "roten Eins" gerade
1
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
6
.

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3.2.1.1Beispiel: Würfel
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Diese HTML-Datei wurde am 27-10-2003 erzeugt.