3.2.1: Wahrscheinlichkeiten in endlichen Mengen

Bevor das probabilistische Retrieval-Modell vorgestellt wird, sollen zunächst einige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung in Erinnerung gerufen werden. Die Darstellung beschränkt sich auf endliche Wahrscheinlichkeitsräume (also die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf endlichen Mengen), weil die Definitionen dadurch erheblich einfacher werden.

Wie die Zugehörigkeitsfunktion einer unscharfen Menge, wird die Wahrscheinlichkeit als Funktion von einer Grundmenge in das Intervall [0,1] definiert. Bei den weiteren Anforderungen an die Funktionen unterscheiden sich die Ansätze allerdings.

Definition 23: Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Aus der Definition folgt unmittelbar p(Ø)=0 denn 1=p(G)=p(G Ø)=p(G) +p(Ø)=1+p( Ø)

3.2.1.1: Beispiel: Würfel

Diese Sachverhalte lassen sich folgendermaßen verallgemeinern:

Definition 24: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

Für unabhängige Ereignisse X, Y G gilt:

p

(X | Y)

=

p( XY) p(Y)

=

p(X)· p(Y) p( Y)

=p

(X)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist bei unabhängigen Ereignissen also gerade gleich der normalen Wahrscheinlichkeit. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit von X wird dadurch, dass das Auftreten des Ereignisses Y zur Bedingung gemacht wird, nicht beeinflusst.

Weiter ergibt sich aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

p(X | Y)·p( Y)=p(XY) p(Y | X)·p( X)=p(YX)

und damit

p(X | Y)·p( Y)=p(Y | X) ·p(X)

bzw.

p

(X | Y)

=

p( Y | X)·p(X) p(Y)

eine einfache Form der bayesschen Formel.