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Reginald Ferber Information Retrieval
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3.2.1: Wahrscheinlichkeiten in endlichen Mengen

Bevor das probabilistische Retrieval-Modell vorgestellt wird, sollen zunächst einige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung in Erinnerung gerufen werden. Die Darstellung beschränkt sich auf endliche Wahrscheinlichkeitsräume (also die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf endlichen Mengen), weil die Definitionen dadurch erheblich einfacher werden.

Wie die Zugehörigkeitsfunktion einer unscharfen Menge, wird die Wahrscheinlichkeit als Funktion von einer Grundmenge in das Intervall [0,1] definiert. Bei den weiteren Anforderungen an die Funktionen unterscheiden sich die Ansätze allerdings.

Pfeil als Kennzeichnung einer Unterueberschrift Definition 23: Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Aus der Definition folgt unmittelbar p(Ø)=0 denn 1=p(G)=p(GMathematisches Zeichen: Vereinigung Ø)=p(G) +p(Ø)=1+p( Ø)

Pfeil als Kennzeichnung einer Unterueberschrift 3.2.1.1: Beispiel: Würfel

Diese Sachverhalte lassen sich folgendermaßen verallgemeinern:

Pfeil als Kennzeichnung einer Unterueberschrift Definition 24: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

Für unabhängige Ereignisse X, Y Mathematisches Zeichen: Teilmenge G gilt:
p (X | Y) =
p( XMathematisches Zeichen: DurchschnittY)
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
p(Y)
=
p(X)· p(Y)
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
p( Y)
=p (X)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist bei unabhängigen Ereignissen also gerade gleich der normalen Wahrscheinlichkeit. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit von X wird dadurch, dass das Auftreten des Ereignisses Y zur Bedingung gemacht wird, nicht beeinflusst.

Weiter ergibt sich aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
p(X | Y)·p( Y)=p(XMathematisches Zeichen: DurchschnittY) p(Y | X)·p( X)=p(YMathematisches Zeichen: DurchschnittX)
und damit
p(X | Y)·p( Y)=p(Y | X) ·p(X)
bzw.
p (X | Y) =
p( Y | X)·p(X)
Leere Abbildung mit der der Bruchstrich erzeugt wird
p(Y)
eine einfache Form der bayesschen Formel.

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Inhalt Stichwörter in der Reihenfolge ihres AuftretensStichwörter alphabetisch sortiert
3.2.1Wahrscheinlichkeiten in endlichen Mengen
Def. 23 Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
3.2.1.1Beispiel: Würfel
Def. 24 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
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Diese HTML-Datei wurde am 27-10-2003 erzeugt.