4.1.1: Unscharfe Mengen

Die Theorie der unscharfen Mengen wurden 1965 von L. A. Zadeh (1965 [->]) begründet. Die folgende Darstellung orientiert sich an Bademer & Gottwald [->] (1993).

Die Theorie der Fuzzy Sets stellt als eine Verallgemeinerung des Mengenkonzepts den "Grad der Mitgliedschaft in einer Menge" zur Verfügung. Für ein Element muß also nicht mehr eindeutig gesagt oder bestimmt werden, ob es in einer bestimmten Menge liegt oder nicht, sondern es kann ein Zahlenwert angegeben werden, der die Zugehörigkeit des Elements zu der Menge beschreibt. Das entspricht der Gewichtung von Termen in der Vektordarstellung eines Dokuments. Die Definition von unscharfen Mengen ist aber nicht auf eine endliche Menge von Termen beschränkt. Sie wird für beliebige Mengen eingeführt. Diese Verallgemeinerung wird mit Hilfe einer Zugehörigkeitsfunktion definiert:

4.1.1.1: Fuzzy Set

Die herkömmliche Mengendefinition (oder die Definition einer scharfen Menge) lässt sich als Spezialfall der Definition einer unscharfen Menge schreiben. Dazu wählt man als Zugehörigkeitsfunktion einer Menge UD die charakteristische Funktion:

Abb. 37: Beispiele von Fuzzy Sets als Beschreibung von Lebensaltern

Zwei unscharfe Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktionen gleich sind. Die leere unscharfe Menge ist durch die Zugehörigkeitsfunktion

m_Ø0

m_D1

4.1.1.2: Träger, Kern, Schnitte und Höhe

Zur weiteren Untersuchung der Eigenschaften unscharfer Mengen, bzw. zur weiteren Verallgemeinerung von Eigenschaften scharfer Mengen auf unscharfe Mengen kann man die folgende Aussage benutzen, die eine Beziehung zwischen scharfen und unscharfen Mengen herstellt.

4.1.1.3: Aussage:

Abb. 38: Rekonstruktion des Wertes der Zugehörigkeitsfunktion aus einem a - Schnitt.

Mit dieser Äquivalenz lassen sich Eigenschaften und Operationen von scharfen Mengen auf unscharfe Mengen übertragen. Geht man von der Teilmengenrelation für scharfe Mengen aus, kann man fordern, dass die - Schnitte einer Teilmengenrelation unscharfer Mengen die Teilmengenrelation für scharfe Schnitte erfüllen sollen. Man erhält als Definition also

YX:Y^>=X^>= [0,1]

Aus der rechten Seite kann man eine äquivalente Bedingung für die Zugehörigkeitsfunktionen ableiten: Für ein beliebiges dD setzen wir =m_Y(d) . Dann folgt aus dY^>= dass auch dX^>= gilt und damit m_X(d)>= also m_X(d)>=m_Y(d) dD .

Umgekehrt folgt aus m_X(d)>=m_Y(d) dD nach der Definition des Schnittes X^>=Y^>=

Zusammen gilt also

YXm_Y(d)<=m_X(d) dD

Man kann also für unscharfe Mengen die Teilmengenrelation durch diese Äquivalenz definieren.

Es folgt dann unmittelbar für diese Teilmengenrelation:

ØXD

YX, XYY=X

YX, XW  YW

Wie bei den scharfen Mengen gibt es auch bei unscharfen Mengen verschiedene sinnvolle Maße für die Größe einer Menge, je nachdem ob der Träger endlich, abzählbar oder meßbar ist. Bei endlichem Träger kann man analog zur Anzahl der Elemente einer scharfen Menge die Summe der Werte der Zugehörigkeitsfunktion verwenden.

4.1.1.4: Vereinigung, Durchschnitt und Komplement

Abb. 39: Vereinigung und Durchschnitt von unscharfen Mengen

Man sieht, dass sich diese Definitionen bei der Verwendung von scharfen Mengen, also von charakteristischen Funktionen, mit den herkömmlichen Definitionen von Vereinigung, Durchschnitt und Komplement decken.

Aus den entsprechenden Eigenschaften der Maximumsfunktion ergeben sich auch sofort

• die Kommutativität:

  YX=XY
  

• die Assoziativität:

  (YX)W=X(YW)
  

• die Idempotenz:

  XX=X
  

• und die Monotonie:

  YXYWXW
  

Diese Eigenschaften lassen sich auch für den Durchschnitt zeigen. Entsprechend lassen sich auch Distributivgesetzte und deMorgansche Regeln auf unscharfe Mengen übertragen. Schließlich gilt

(YX)^>=Y^>X^>

(YX)^>=Y^>X^>